Leggi di Keplero

Prima legge

Inizialmente Keplero cercava un riscontro della circolarità delle orbite planetarie per rispondere all’idea di perfezione diffusa fino a quel periodo ma di fronte all’evidenza dei dati sperimentali egli finì con l’affermare che le orbite dei pianeti sono delle ellissi di cui il Sole occupa uno fuochi. Si deduce quindi che il pianeta non si trova sempre alla stessa distanza dal Sole; il punto di maggior lontananza è detto afelio, quello opposto è detto perielio. La linea immaginaria che collega i due punti è detta linea degli apsidi. In figura le proporzioni sono esagerate per mettere in evidenza la forma dell’orbita. In realtà le orbite dei pianeti sono molto poco eccentriche è quindi possono in genere essere approssimate ad una circonferenza.

Seconda legge

La seconda legge, che deriva dalla conservazione del momento angolare del pianeta in orbita, afferma che il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La conseguenza più importante di questa seconda legge è che la velocità di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole varia, diventando maggiore in prossimità del perielio e minore all’afelio. Considerando infatti che il raggio vettore diminuisce ma l’area di spazzare in un certo tempo deve essere sempre uguale, deve allora necessariamente aumentare la velocità; discorso opposto per l’afelio. In figura considerando un certo Δt, S1 ed S2 sono uguali; di conseguenza al perielio il pianeta orbita più velocemente.


Dimostrazione



Consideriamo un pianeta che orbita attorno al Sole che in un certo intervallo di tempo Δt si sposti dalla posizione P alla posizione P’ spazzando un angolo Δθ:
Calcoliamo la velocità con cui il pianeta percorre l’area A in un certo Δt (velocità areolare); approssimando poi l’area ad un settore circolare avremo che:

Va = ∆A/∆t= 1/2 ∆θ/∆t R^2

Il rapporto ∆θ/∆t rappresenta la velocità angolare ω che sappiamo essere il rapporto tra V ed R:

Va = 1/2 ωR^2 = 1/2 VR

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la massa m del pianeta in modo da ottenere al numeratore il momento angolare l:

Va= 1/2 mRV/m = l/2m

Considerando che la forza gravitazionale che esercita il Sole sul pianeta (e viceversa) esercita momento torcente nullo si deve allora conservare il momento angolare. Quindi, come si deduce dalla suddetta formula in cui l e 2m sono delle quantità che non variano, la velocità areolare Va si mantiene costante.

Terza legge

Sempre sulla base degli studi di Brahe, Keplero tentò di trovare una relazione tra la distanza di un pianeta dal Sole e il suo periodo di rivoluzione; dedusse così la terza legge la quale afferma che il quadrato del periodo di rivoluzione è direttamente proporzionale al cubo della distanza media pianeta-Sole. Cioè:

T^2=kR^3

Dimostrazione

Per dimostrare matematicamente la terza legge di Keplero supponiamo che l’orbita del pianeta sia una circonferenza. La forza gravitazionale che il Sole esercita sul pianeta è diretta verso il centro è corrisponde pertanto alla forza centripeta:



Fg=Fc

GMm/R^2 = mV^2/R

Semplificando R e m, e sostituendo alla velocità il valore circonferenza / tempo si ha:

GM/R=V^2

GM/R=(4π^2 R^2)/T^2

GMT^2=4π^2 R^3

T^2=(4π^2)/GM R^3

Dove ovviamente (4π^2)/GM è la costante di proporzionalità che poniamo uguale a K, ottenendo così la terza legge di Keplero e quindi la diretta proporzionalità tra T^2ed R^3

T^2=kR^3